자연수

자연수를 이진법으로 표현하는 방법은 매우 익숙하다.
이걸 파이썬으로 표현하면 이렇다.

def NtS(n):# natural numbers to strings
if n > 1:
return NtS(n // 2) + str(n % 2)
else:
return str(n % 2)
print(NtS(236))
# 11101100
print(NtS(19))
# 10011

​해당 숫자를 2로 나눈 나머지 (0 or 1)을 기입.
그리고 다시 그 숫자를 2로 나눈뒤에 반복.
언제까지? : n이 2 미만일 때 까지.

음수

위의 NtS()결과 앞에 양수라면 0을 음수라면 1을 추가한다.
이건 과거의 방법이고 요즘의 방법은 밑에서 서술.

어떻게 구별하나?

위에서도 보면 NtS(19)의 결과물은 10011인데, 19는 양수가 아닌가?
맨 앞에 있는게 음수와 양수를 구별하는 용도로 추가한 비트인지 아닌지 어떻게 알까?
그러면 더 근본적인 질문으로 넘어가게 된다.
10011010101 이렇게 있는게 애초에 숫자인걸 우리는 어떻게 알까?
간단히 대답하자면 그럴 필요가 없다. 컴파일러가 해당 자료의 자료형을 미리 정하기 때문에.
똑같은 1110101이라도 그게 int인지 string인지 아니면 혹은 다른 무엇가인지에 따라 다르게 해석된다는것이다.

Two's complement representation (2의 보수 방식)

여기서는 정확히 요즘은 어떻게 음수를 표현하는지에 대해 알려준다.
4비트 표현법에서 -8을 나타내보자.
$n=4-1=3$ $ZtS_{3}(−8) = NtS_4(2^4−8)=1000$

4비트 안에서 -8과 8은 같다. 그래서 맨 앞의 비트를 부호 비트로 사용하고 실직적으로 n-1개의 비트로만 숫자를 나타낼 수 밖에 없는것.

유리수

-5/8 이라는 유리수를 어떻게 표현할까.
-5 -> 1101, 8->01000 하면 (1101,01000) 두 이진수가 나온다.
이걸 각 숫자를 두번씩 반복한다. 0은 00으로 1은 11로.
11110011,0011000000 이 되고 그 둘 사이에 01을 넣고 있는다.
11110011 01 0011000000(구별하기 쉽게 스페이스를 넣음) = -5/8

실수(부동소수점 표기)

어떤 실수 x가 있으면 x와 근접한 $b * 2^e$ 를 찾아서 (b,e) 쌍으로 표현한다.
12.75 은 이렇게 이진수로 변환된다.

1. 이진법 변환
   12는 이진수로 1100
   $0.75 = 0.5 + 0.25 = 1/2 + 1/2^2 = 0.11$ 둘을 합쳐서 1100.11

2. Scientific notation
   1100.11이란 숫자를 앞에 한 자리만 남기도록 소수점을 옮기면
   1.10011이 되고 소수점은 3자리를 옮겼으니 $1.10011 * 2^3$ 이라고 표기.

3. 각 부분 구하기
   부호: 12.75는 양수니까 sign bit은 0.
   지수: 3 + 127 = 130 = 10000010
   가수: 10011 (위의 2단계 숫자에서 소수점 뒤 부분만 가져오고 나머지는 0으로)
   12.75 = 0 100000010 10011000000000000000000

12.3 처럼 딱 떨어지지 않는 실수는?
12 -> 1100은 동일.
0.3은 어떻게 구하나?
0.3 를 2씩 곱하면서 소수점 앞에 숫자를 적고 버린다.
0.3 * 2 = 0.6 -> 0
0.6 * 2 = 1.2 -> 1
0.2 * 2 = 0.4 -> 0
0.4 * 2 = 0.8 -> 0
0.8 * 2 = 1.6 -> 1
이렇게 무한히 가다가 정해진 자릿수에서 멈춘다.(보통은 23비트. 왜냐하면 float 32비트에서 부호 1비트, 지수 8비트 를 빼면 23비트만 남기 때문에)
그래서 1100.01001.......0 까지 구한다음에 그걸
정규화를 거쳐 1.10001001......0 * 2^3
그래서 12.3 = 0 10000010 10001001100110011001101