집합

집합의 중요성을 다시 생각해보자. 집합은 사회의 많은 분야에서 나타나는 여러 가지 상황을 적절히 분류하여 수학적 모델을 만들 수 있게 해준다.

집합에 대한 직관적인 개념은, 1895년 칸토어가 집합 이론을 도입하면서 아래와 같이 처음으로 정의하였다.

집합(set)이란 직관이나 사고의 대상으로서, 명확하고 구별할 수 있는 것들의 모임이다. 집합을 이루는 각각의 것들을 원소(element)라 한다.

용어들

유한 집합 : 유한개의 원소를 가지고 있는 집합

무한 집합 : 무한개의 원소를 가지고 있는 집합

공집합 : 원소가 하나도 없는 집합

• 공집합은 모든 집합의 부분집합이다. 이게 무슨말이냐면, "모든 x에 대해 x가 공집합의 원소라면 x는 A의 원소이다." 라는 명제에서 "x가 공집합의 원소라면" 라는 조건부가 거짓이기 때문에 항상 참이된다. 그래서 공집합은 모든 원소의 부분집합이 된다!
• 공집합은 공집합의 부분집합이 될 수 있고, 공집합을 원소로 가지는 집합의 부분집합이 될 수 있다. 즉 $\emptyset = \emptyset$, $\emptyset \subseteq \emptyset$, $\emptyset \subseteq \{\emptyset\}$, $\emptyset \in \{\emptyset\}$ 모두 성립한다는 것인데, 공집합의 매우 특이한 성격을 보여주는 부분이다. $\{3\} \not\in \{3\}$, $\{3\} \not\subseteq \{3\}$

한원소 집합(singleton set) : 원소가 하나인 집합

상등 : 두 집합 A와 B의 원소가 모두 같을 때 A와 B가 상등이다고 한다.
{a,a,b} = {a,b}
{b,a}={a,b}

멱집합 power set : 집합 A의 부분집합을 모두 모아 놓은 집합.P(A)로 나타낸다. 즉,
$P(A) = \{ B \; | \; B \subseteq A \}$
예) $P(\{\,\emptyset , \{\,\emptyset\,\}\}) = \{\emptyset , \{\,\emptyset\,\} , \{\{\emptyset\}\} , \{\,\emptyset , \{\,\emptyset\,\}\}\}$

조건 제시법

임의의 집합 A와, x에 관한 임의의 명제 p(x)가 있을 때, p(x)를 참으로 하는 A의 모든 원소 x를 모아 놓은 집합
$\{x\in A\;|\;p(x)\}$
가 존재한다.

이렇게 집합을 표현하는 방법을 조건 제시법 set builder form이라고 한다.