추론

추론 arguments

추론arguments 혹은 논증은 전제로부터 결론을 이끌어 내는 과정이다.
$p_1,p_2,p_3,\cdots,p_n /\therefore q$

타당 valid

추론이 타당valid 하다는 것은
$p_1 \land p_2 \land p_3 \land \cdots \land p_n \implies q$
인 경우를 말한다. 타당하지 않은 추론을 오류 fallacy라고 한다.

어떤 추론이 타당한 추론이라는 것은 그 명제 'p이면 q이다'가 항진명제라는 것이다.
전제가 참이라면 결론도 참임을 보장한다.

예제1

"그가 범인이라면 그는 현장에 있었을 것이다. 그는 현장에 없었다. 그래서 그는 범인이 아니다."

p : 그는 범인이다
q : 그는 현장에 있었다.

$[(p\rightarrow q)\land \neg q] \rightarrow \neg p$
삼단부정법에 의해 항진 명제가 된다. 따라서 타당한 추론이다.

예제2

"그가 수학을 잘 한다면, 그는 머리가 좋을 것이다. 그는 수학을 잘한다. 따라서 그는 머리가 좋다."
p : 그는 수학을 잘 한다.
q : 그는 머리가 좋다.

$[(p\rightarrow q)\land q] \rightarrow p$
이것은 삼단긍정법에 의해 항진 명제가 된다.

주의

타당한 추론이라는 것은 전제가 참이면 결론도 참이라는 것만을 보장해준다.
추론의 타당성은 주어진 성분명제의 참, 거짓과는 관계가 없고 주어진 추론의 형식이 가지고 있는 타당성이다.

예시

"이광수가 노벨 문학상을 받았다면 그는 한국 최초의 노벨 문학상 수상자이다. 이광수는 노벨 문학상을 받았다. 그러므로 그는 최초의 노벨 문학상 수상자이다."
이광수는 노벨 문학상을 받은적이 없어서 전제가 거짓이다.
하지만 삼당긍정법에 의해 항진명제, 즉 타당한 추론이 된다.

비형식적 증명

형식적 증명은 '비경제적'인 증명법이다.
그래서 복잡한 논리학의 증명을 제외한 대부분의 수학에서는 비형식적 증명을 사용한다.

형식적 증명은

$(p\rightarrow q)$
$(r \rightarrow s)$
$(p \lor q) \rightarrow\neg m$
$m$ / $\therefore (\neg r \land \neg p)$
$\neg(q \lor s)$ - 3,4, 삼당부정법
$\neg q \land \neg s$ - 5, 드모르간 법칙
$\neg q$ - 6, 단순화
$\neg s$ - 6, 단순화
$\neg p$ - 1,7, 삼단부정법
$\neg r$ - 2,8, 삼단부정법
$\neg p \land \neg r$ - 9,10, 논리곱

이렇게 단계별로 분명하게 작성하는것이지만, 비형식적 증명은 길게 글로 풀어서 쓰는것이다.

"우선 삼단부정법을 이용하여 가정 H3, H4로부터 $\neg(q\lor s)$ 을 얻어낸다. 여기에 드모르간 법칙을 적용하면 $\neg q \land \neg s$ 을 얻을 수 있다. 또한 단순화 법칙에 의해 $\neg q$ 와 $\neg s$ 를 얻을 수 있다. $\neg q$ 와 가정 H1으로 부터 삼단부정법을 이용하여 $\neg p$ 를 얻어낸다. 마찬가지로 $\neg s$ 와 가정 H2로부터 삼단부정법을 이용하여 $\neg r$ 을 얻어낸다. 따라서 $\neg p \land \neg r$ 이라는 결론을 얻을 수 있다."